[알고리즘] 다익스트라 (Dijkstra)

다익스트라 (Dijkstra)

다익스트라 알고리즘이란

✔ 음의 가중치가 없는 그래프의 한 정점에서 모든 정점까지의 최단거리를 각각 구하는 알고리즘

다익스트라 알고리즘의 원리

　　　* P[a][b]: a와 b 사이의 거리

1. 출발점으로부터 최단거리를 저장할 배열 distance[v]을 만들고 출발 노드는 0, 나머지 노드들은 충분히 큰 값으로 초기화 한다.
2. 현재 노드 Current를 출발 노드의 번호로 설정한다.
3. Current로부터 갈 수 있는 임의의 노드 Next에 대해 distance[Current] + P[Current][Next](A를 거쳐서 B로 가는 최단거리)와 distance[Next](현재까지 알려진 B의 최단 거리)의 값을 비교해서 짧은 값(짧은 경로)로 갱신한다.
4. Current의 모든 이웃노드 Next에 대해 3 을 수행한다.
5. Current의 상태를 ‘visited=True’로 바꿔준다. (Current는 더 이상 사용하지 않는다.)
6. visited == False인 노드 중 출발점으로부터 거리가 가장 짧은 노드를 Current로 설정한다.
7. 도착 노드가 'visited == True’가 되거나, 더 이상 미방문 노드를 선택할 수 없을 때까지 3 ~ 6의 과정을 반복한다.

그림으로 나타낸 다익스트라

소스코드 (기본형태: O(V^2))

# V: 정점의 개수, E: 간선의 개수, start: 출발노드
V, E = map(int, input().split())
start = int(input())
# visited: 방문 여부 표시 배열
visited = [False for _ in range(V + 1)]
# distance: 최단거리 테이블 (충분히 큰 값으로 초기화)
distance = [float('INF')for _ in range(V + 1)]

# graph: 인접리스트로 구현한 그래프
graph = [[] for _ in range(V + 1)]
for _ in range(E):
	node1, node2, weight = map(int, input().split())
	graph[node1].append((node2, weight))


# 미방문 노드 중에서 최단거리인 노드를 찾는 함수
def next_node():
	min_val = float('INF')
	idx = 0
	
	# 모든 정점에 대해 탐색
	for i in range(1, V + 1):
		# 미방문 노드 중 최단거리 노드 탐색
		if distance[i] < min_val and not visited[i]:
			min_val = distance[i]
			idx = i
			
	# 노드 번호 반환
	return idx


# 다익스트라 함수
def dijkstra(start):

	# 출발점 거리 및 방문 표시
	distance[start] = 0
	visited[start] = True
	
	# 출발노드의 인접노드 최단거리 테이블 갱신
	for adj in graph[start]:
		distance[adj[0]] = adj[1]
	
	# 나머지 노드 모든 노드에 대해 반복
	for _ in range(V - 1):
	
		# 다음 노드 설정 및 방문 표시
		current = next_node()
		visited[current] = True
		
		# 최단 거리 갱신
		for adj in graph[current]:
			cost = distance[current] + adj[1]
			if cost < distance[adj[0]]:
				distance[adj[0]] = cost
				
	return


# 출발점으로부터 다익스트라
dijkstra(start)

# 최단거리 테이블 출력
print(distance)

우선순위 큐를 이용한 다익스트라 (O(ElogE))

✔ 기본 형태의 다익스트라는 다음 노드를 탐색하는 과정에서 모든 노드를 순회하게 되어 O(V^2)의 시간 복잡도를 가지게 된다.
✔ 우선순위큐(힙큐)를 이용하면 최단거리와 정점 정보를 저장해뒀다가 바로 다음 노드를 뽑아낼 수 있다. -> O(ElogE)의 시간복잡도

소스 코드

import heapq

# 우선순위 큐를 이용한 다익스트라
def  dijkstra(start):
	# 우선순위큐 선언
	queue = []
	# 우선순위 큐에 (0(출발점 거리), 출발점) 삽입
	heapq.heappush(queue, (0, start))
	# 출발점 거리 표시
	distance[start] =  0
	
	# 우선순위 큐가 빌 때까지 진행
	while queue:
		# 최단거리 정점 추출
		weight, node = heapq.heappop(queue)
		
		# 해당 정점이 최단거리가 맞을 경우
		if distance[node] == weight:
			# 인접 정점에 대해서 최단거리 비교해가면서 갱신 
			for  next  in graph[node]:
				cost = distance[node] +  next[1]			
				# 최단 거리 갱신할 경우
				if cost < distance[next[0]]:
					distance[next[0]] = cost
					# 우선순위큐에 거리와 노드 정보 저장
					heapq.heappush(queue, (cost, next[0]))
  
	return
   
# V: 정점의 개수, E: 간선의 개수, start: 출발지점
V, E =  map(int, input().split())
start = int(input())
# distance: 최단거리 표시 배열 (충분히 큰 값으로 초기화)
distance = [float('INF') for _ in  range(V +  1)]

# graph: 인접리스트로 나타낸 그래프 
graph = [[] for _ in  range(V +  1)]
for _ in  range(E):
	node1, node2, weight =  map(int, input().split())
	graph[node1].append((node2, weight))

# 출발지점으로부터 다익스트라 함수 시행
dijkstra(start)

# 최단거리 테이블 출력
print(distance)